.. highlight:: c++

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円周率の分数表現を探す
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355/113が非常によい円周率の近似値であることはよく知られている。電卓を使って計算してやれば

.. math:: 355/113 = 3.14159292035

と驚くべき精度があることがわかる。しかもこの数字は分母から順に1,1,3,3,5,5と、最も小さな奇数から順に二個ずつ並んでいるのが憎らしい。これだけ綺麗な分数は見つかりそうもないが、他の分数表現を探してみようじゃないか。

評価基準
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単純に円周率に近い値が欲しければ例えば\ :math:`31415/10000`\ のように\ :math:`10^n`\ で割ってやればよいだけなのでつまらない。355/113が人を感動させるひとつの理由は分子、分母それぞれ3桁しかないのにそれを大きく超える精度で\ :math:`\pi`\ と一致するからである。そこで、次の評価基準を採用する。

.. math:: \text{err} = \frac{-\log|\pi-m/n|}{({\rm digit}(m)+{\rm digit}(n))/2}

ただし、digit関数は引数の桁を返す関数である。

結果
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次のプログラムを用いて100万未満を探索した。

.. literalinclude:: cpp/pi/main.cpp
 :caption: 円周率の分数表現探索コード

結果発表！！

1位：355/113 評価値=2.19129

2位: 22/7 評価値=1.93206

3位: 312689/99532 評価値=1.91554

おおう！355/113すごいな！22/7も大健闘！円周率の連分数表現の最初の方が大健闘という結果。

このプログラムは円周率以外でも使える。例えばネイピア数。

49171/18089が最も評価値が高い。あと目立ったのは193/71。これもやはり連分数表現から出てくるらしい。